插值法
插值法插值方法简介一维插值方法拉格朗日多项式插值分段线性插值三次样条插值应用总结
二维插值方法节点均匀（网格）节点不均匀（散点）
插值法
插值方法简介
插值法是根据一组数据点
（
x
0
,
y
0
）
,
（
x
1
,
y
1
）
,
…
,
（
x
n
,
y
n
）
（x_0, y_0）,（x_1, y_1）,…, （x_n, y_n）
（x0,y0）,（x1,y1）,…,（xn,yn）建立一个便于计算的初等函数或曲线
y
=
f
(
x
)
y = f(x)
y=f(x)，使它通过这些给定的数据点:
f
(
x
0
)
=
y
0
，
f
(
x
1
)
=
y
1
，
…
，
f
(
x
n
)
=
y
n
f(x_0) = y_0， f(x_1) = y_1，…， f(x_n) = y_n
f(x0)=y0，f(x1)=y1，…，f(xn)=yn 用这种方法所得的近似公式叫插值公式，已知的数据点叫节点。
一维插值方法
拉格朗日多项式插值
拉格朗日插值法可以找到一个多项式，其恰好在各个观测的点取到观测到的值。 从理论和计算角度看，多项式是最简单的函数之一。 已知函数
f
(
x
)
f (x)
f(x)在互不相同的n+1个点
x
0
,
x
1
,
…
,
x
n
x_0, x_1, …, x_n
x0,x1,…,xn处的函数值为
y
0
,
y
1
,
…
,
y
n
y_0, y_1, …, y_n
y0,y1,…,yn 求n次多项式函数
L
n
(
x
)
L_n(x)
Ln(x)，使其满足： 其中
L
n
(
x
)
L_n(x)
Ln(x) 称为
f
(
x
)
f(x)
f(x)的插值函数，也称为n次拉格朗日插值多项式。 拉格朗日插值公式： 其中
l
k
(
n
)
l_k^{(n)}
lk(n)是拉格朗日插值基函数 不难看出，
l
k
(
n
)
=
1
,
x
=
x
k
;
l
k
(
n
)
=
0
,
x
≠
x
k
l_k^{(n)}=1,x=x_k;l_k^{(n)}=0,x\neq x_k
lk(n)=1,x=xk;lk(n)=0,x=xk 可以这样子简记：分子和分母形式是一样的，项数也是一样多的，分子只是把分母的
x
k
x_k
xk变成了
x
x
x，并且在连乘的时候去掉了让分母等于0的那一项，也就是
x
k
x_k
xk的那一项。
n=1时：线性插值 n=2时：抛物线插值 n = 2 时，构造通过三个点
(
x
0
,
y
0
)
，
(
x
1
,
y
1
)
，
(
x
2
,
y
2
)
(x_0,y_0)， (x_1,y_1) ， (x_2,y_2)
(x0,y0)，(x1,y1)，(x2,y2)的多项式如下
L
x
(
x
)
=
l
0
(
x
)
y
0
+
l
1
(
x
)
y
1
+
l
2
(
x
)
y
2
L_x(x)=l_0(x)y_0+l_1(x)y_1+l_2(x)y_2
Lx(x)=l0(x)y0+l1(x)y1+l2(x)y2 在
x
=
x
i
x=x_i
x=xi时等于1 二次函数（quadratic function）的基本表示形式为
y
=
a
x
2
+
b
x
+
c
（
a
≠
0
）
y=ax²+bx+c（a≠0）
y=ax2+bx+c（a=0）。二次函数最高次必须为二次， 二次函数的图像是一条对称轴与y轴平行或重合于y轴的抛物线。
关于基函数的理解 和上面所说的一样，
l
i
(
x
)
l_i(x)
li(x)就在
x
=
x
i
x=x_i
x=xi的时候取值为1，其他时候取值为0
龙格现象 在用插值方法进行函数近似时，当使用高次插值多项式逼近复杂函数时，插值函数在边界处出现剧烈震荡的现象。这种现象主要是由于在边界处使用高次多项式时，插值函数在边界处的震荡效应导致的。而且节点越多龙格现象越明显。 因此高阶多项式并不是最好的选择
拉格朗日插值法的优缺点
分段线性插值
由于高次插值多项式存在的振荡缺陷和计算复杂度高等缺点，促使人们转而寻求简单的分段低次多形式插值。 分段低次插值的基本思想是将插值区间划分为若干个小区间，然后在每个小区间上做满足一定条件的低次插值。 简单的说，将每两个相邻节点用直线连接起来，如此形成的一条折线就是分段线性插值函数。插值函数在
[
x
i
−
1
,
x
i
]
[x_{i-1}, x_i]
[xi−1,xi]上的表达式为： 用分段线性插值计算时，只用到x左右两个节点，计算量与节点个数无关。但是n越大，分段越多，插值误差越小。实际上用函数表作插值计算时，分段线性插值就足够了。
分段线性插值法的优缺点
三次样条插值
分段插值虽然计算简单，但是光滑性较差。 在数学上，光滑程度的定量描述是：函数(曲线)的k阶导数存在且连续，则称该曲线具有k阶光滑性。光滑性的阶次越高，则越光滑。 三次样条插值就是一个很好的例子
三次样条函数 记为
S
(
x
)
S(x)
S(x)，它是定义在区间
[
a
,
b
]
[a, b]
[a,b]上的函数，满足以下两个条件：
S
(
x
)
S(x)
S(x) 在每一个小区间
[
x
i
−
1
,
x
i
]
[x_{i-1}, x_i]
[xi−1,xi]上是一个三次多项式函数；在整个区间
[
a
,
b
]
[a, b]
[a,b]上，其二阶导数存在且连续。 即在每个节点处的二阶导数连续.
三次样条函数求解
参数：每个小段上4个，n个小段共计4n个。 方程：
每个小段上由给定函数值得到2个，n个小段共计2n个光滑性要求每一个内部节点的一阶二阶导数连续，得出其左右导数相等。因此，每个节点产生2个方程，共记2n-2个
现在得到了4n-2个方程，还差两个。为此，常用的方法是对边界节点除函数值外附加要求，这就是所谓的边界条件。这里需要两个边界条件，正好左右两个端点各一个。
有三种边界条件，这样子就一共有4n个方程了。 常用的有自然边界条件
M
0
=
M
n
=
0
M_0=M_n=0
M0=Mn=0
应用
应用1：神经网络激活函数 应用2：色调映射 应用3：色彩增强
总结
拉格朗日多项式插值：这是最基础的一种插值方法，通过给定的数据点构造一个多项式函数，使得该函数在这些数据点上与原函数相等。这种方法虽然简单直观，但在节点较多时可能会出现“龙格现象”，即插值多项式的振荡幅度会变得非常大，导致插值效果不佳。龙格现象：这是指当使用高次多项式进行插值时，在数据点之间会出现较大的振荡，尤其是在数据点的两端。这种现象会导致插值结果在某些区间内偏离真实函数值较远。分段低次插值：为了解决龙格现象，人们提出了分段低次插值的方法。这种方法将整个插值区间分成若干个子区间，在每个子区间内使用较低次数的多项式进行插值。这样可以避免高次多项式带来的振荡问题，但可能会导致插值曲线在子区间边界处不光滑。分段线性插值：这是一种特殊的分段低次插值，其中每个子区间内的插值多项式是一次多项式（即直线）。这种方法简单易行，但插值结果可能不够平滑。分段二次插值和三次样条插值：为了进一步提高插值曲线的光滑性，人们提出了分段二次插值和三次样条插值。这两种方法在每个子区间内使用二次或三次多项式进行插值，并且在子区间边界处保证一阶或二阶导数的连续性，从而得到更加平滑的插值曲线。
二维插值方法
二维插值是一种通过已知的离散点数据，在二维平面上推算出其他位置的数值的方法。 常见的二维插值情况有节点均匀和节点不均匀两种。
节点均匀（网格）
已知
z
=
f
(
x
,
y
)
z=f(x,y)
z=f(x,y)在一些点取值，节点分布很均匀，落在由一系列平行直线组成的矩形网络的各个顶点上
节点不均匀（散点）
节点分布散乱 二维插值举例： 步骤：
确定4个近邻像素在x轴进行插值在y轴进行插值
左上角蓝色的点计算步骤： x轴插值结果：8-7/4=6.25 3+2/4=3.5 y轴插值结果：6.25-(6.25-3.5)/4=5.5625 左上角红色点为6.25，中间红色的点为3.5，所以左上角的蓝色的点需要用两个红色点表示出来。