反函数求导反函数求导是微积分中的重要概念，它帮助我们计算反函数的导数。
反函数求导公式反函数求导公式如果 y=f−1(x)y = f^{-1}(x)y=f−1(x) 是 x=f(y)x = f(y)x=f(y) 的反函数，且 f′(y)≠0f'(y) \neq 0f′(y)=0，则
(f−1)′(x)=1f′(f−1(x))(f^{-1})'(x) = \frac{1}{f'(f^{-1}(x))}(f−1)′(x)=f′(f−1(x))1
反函数求导的证明证明思路：
设 y=f−1(x)y = f^{-1}(x)y=f−1(x)，则 x=f(y)x = f(y)x=f(y)两边对 xxx 求导：1=f′(y)⋅y′1 = f'(y) \cdot y'1=f′(y)⋅y′解出 y′y'y′：y′=1f′(y)=1f′(f−1(x))y' = \frac{1}{f'(y)} = \frac{1}{f'(f^{-1}(x))}y′=f′(y)1=f′(f−1(x))1常见反函数的导数反三角函数反三角函数的导数(arcsinx)′=11−x2(∣x∣<1)(\arcsin x)' = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \quad (|x| < 1)(arcsinx)′=1−x21(∣x∣<1)
(arccosx)′=−11−x2(∣x∣<1)(\arccos x)' = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \quad (|x| < 1)(arccosx)′=−1−x21(∣x∣<1)
(arctanx)′=11+x2(\arctan x)' = \frac{1}{1 + x^2}(arctanx)′=1+x21
(\text{arccot } x)' = -\frac{1}{1 + x^2}
反双曲函数反双曲函数的导数(sinh−1x)′=11+x2(\sinh^{-1} x)' = \frac{1}{\sqrt{1 + x^2}}(sinh−1x)′=1+x21
(cosh−1x)′=1x2−1(x>1)(\cosh^{-1} x)' = \frac{1}{\sqrt{x^2 - 1}} \quad (x > 1)(cosh−1x)′=x2−11(x>1)
(tanh−1x)′=11−x2(∣x∣<1)(\tanh^{-1} x)' = \frac{1}{1 - x^2} \quad (|x| < 1)(tanh−1x)′=1−x21(∣x∣<1)
反函数求导的应用复合反函数求导当反函数与其他函数复合时，需要使用链式法则。
例子：求 f(x)=arcsin(x2)f(x) = \arcsin(x^2)f(x)=arcsin(x2) 的导数
解：
设 y=arcsin(x2)y = \arcsin(x^2)y=arcsin(x2)，则 x2=sinyx^2 = \sin yx2=siny两边对 xxx 求导：2x=cosy⋅y′2x = \cos y \cdot y'2x=cosy⋅y′解出 y′y'y′：y′=2xcosy=2x1−x4y' = \frac{2x}{\cos y} = \frac{2x}{\sqrt{1 - x^4}}y′=cosy2x=1−x42x反函数求导的几何意义反函数求导公式的几何意义是：反函数的导数等于原函数导数的倒数。
常见错误和注意事项1. 忽略定义域错误：(arcsinx)′=11−x2(\arcsin x)' = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}(arcsinx)′=1−x21 对所有 xxx 成立 正确：(arcsinx)′=11−x2(\arcsin x)' = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}(arcsinx)′=1−x21 只在 ∣x∣<1|x| < 1∣x∣<1 时成立
2. 复合函数求导错误错误：(arcsin(x2))′=11−x2⋅2x(\arcsin(x^2))' = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \cdot 2x(arcsin(x2))′=1−x21⋅2x 正确：(arcsin(x2))′=11−x4⋅2x(\arcsin(x^2))' = \frac{1}{\sqrt{1 - x^4}} \cdot 2x(arcsin(x2))′=1−x41⋅2x
3. 符号错误错误：(arccosx)′=11−x2(\arccos x)' = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}(arccosx)′=1−x21 正确：(arccosx)′=−11−x2(\arccos x)' = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}(arccosx)′=−1−x21
练习题练习 1求函数 f(x)=arcsin(x2)f(x) = \arcsin(x^2)f(x)=arcsin(x2) 的导数。
参考答案解题思路： 使用反函数求导公式和链式法则。
详细步骤：
设 y=arcsin(x2)y = \arcsin(x^2)y=arcsin(x2)，则 x2=sinyx^2 = \sin yx2=siny两边对 xxx 求导：2x=cosy⋅y′2x = \cos y \cdot y'2x=cosy⋅y′解出 y′y'y′：y′=2xcosy=2x1−x4y' = \frac{2x}{\cos y} = \frac{2x}{\sqrt{1 - x^4}}y′=cosy2x=1−x42x答案：f′(x)=2x1−x4f'(x) = \frac{2x}{\sqrt{1 - x^4}}f′(x)=1−x42x
练习 2求函数 f(x)=arctan(lnx)f(x) = \arctan(\ln x)f(x)=arctan(lnx) 的导数。
参考答案解题思路： 这是一个复合函数，包含反三角函数和对数函数。
详细步骤：
外层：f(u)=arctanuf(u) = \arctan uf(u)=arctanu，f′(u)=11+u2f'(u) = \frac{1}{1 + u^2}f′(u)=1+u21内层：g(x)=lnxg(x) = \ln xg(x)=lnx，g′(x)=1xg'(x) = \frac{1}{x}g′(x)=x1复合函数导数：f′(x)=11+(lnx)2⋅1x=1x(1+(lnx)2)f'(x) = \frac{1}{1 + (\ln x)^2} \cdot \frac{1}{x} = \frac{1}{x(1 + (\ln x)^2)}f′(x)=1+(lnx)21⋅x1=x(1+(lnx)2)1答案：f′(x)=1x(1+(lnx)2)f'(x) = \frac{1}{x(1 + (\ln x)^2)}f′(x)=x(1+(lnx)2)1
练习 3求函数 f(x)=arccos(1−x2)f(x) = \arccos(\sqrt{1 - x^2})f(x)=arccos(1−x2) 的导数。
参考答案解题思路： 这是一个复合函数，包含反三角函数和幂函数。
详细步骤：
外层：f(u)=arccosuf(u) = \arccos uf(u)=arccosu，f′(u)=−11−u2f'(u) = -\frac{1}{\sqrt{1 - u^2}}f′(u)=−1−u21内层：g(x)=1−x2g(x) = \sqrt{1 - x^2}g(x)=1−x2，g′(x)=−x1−x2g'(x) = \frac{-x}{\sqrt{1 - x^2}}g′(x)=1−x2−x复合函数导数：f′(x)=−11−(1−x2)⋅−x1−x2=x∣x∣1−x2f'(x) = -\frac{1}{\sqrt{1 - (1 - x^2)}} \cdot \frac{-x}{\sqrt{1 - x^2}} = \frac{x}{|x|\sqrt{1 - x^2}}f′(x)=−1−(1−x2)1⋅1−x2−x=∣x∣1−x2x答案：f′(x)=x∣x∣1−x2f'(x) = \frac{x}{|x|\sqrt{1 - x^2}}f′(x)=∣x∣1−x2x
练习 4求函数 f(x)=sinh−1(ex)f(x) = \sinh^{-1}(e^x)f(x)=sinh−1(ex) 的导数。
参考答案解题思路： 这是一个复合函数，包含反双曲函数和指数函数。
详细步骤：
外层：f(u)=sinh−1uf(u) = \sinh^{-1} uf(u)=sinh−1u，f′(u)=11+u2f'(u) = \frac{1}{\sqrt{1 + u^2}}f′(u)=1+u21内层：g(x)=exg(x) = e^xg(x)=ex，g′(x)=exg'(x) = e^xg′(x)=ex复合函数导数：f′(x)=11+e2x⋅ex=ex1+e2xf'(x) = \frac{1}{\sqrt{1 + e^{2x}}} \cdot e^x = \frac{e^x}{\sqrt{1 + e^{2x}}}f′(x)=1+e2x1⋅ex=1+e2xex答案：f′(x)=ex1+e2xf'(x) = \frac{e^x}{\sqrt{1 + e^{2x}}}f′(x)=1+e2xex
练习 5求函数 f(x)=ln(arccosx)f(x) = \ln(\arccos x)f(x)=ln(arccosx) 的导数。
参考答案解题思路： 这是一个复合函数，包含对数函数和反三角函数。
详细步骤：
外层：f(u)=lnuf(u) = \ln uf(u)=lnu，f′(u)=1uf'(u) = \frac{1}{u}f′(u)=u1内层：g(x)=arccosxg(x) = \arccos xg(x)=arccosx，g′(x)=−11−x2g'(x) = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}g′(x)=−1−x21复合函数导数：f′(x)=1arccosx⋅(−11−x2)=−1arccosx⋅1−x2f'(x) = \frac{1}{\arccos x} \cdot (-\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}) = -\frac{1}{\arccos x \cdot \sqrt{1 - x^2}}f′(x)=arccosx1⋅(−1−x21)=−arccosx⋅1−x21答案：f′(x)=−1arccosx⋅1−x2f'(x) = -\frac{1}{\arccos x \cdot \sqrt{1 - x^2}}f′(x)=−arccosx⋅1−x21
练习 6改编自2022考研数学一第1题
设 limx→1f(x)lnx=1\lim\limits_{x\to1} \frac{f(x)}{\ln x}=1x→1limlnxf(x)=1，求 f′(1)f'(1)f′(1) 的值。
参考答案解题思路： 利用等价无穷小的性质和反函数求导的思想。
详细步骤：
由 limx→1f(x)lnx=1\lim\limits_{x\to1} \frac{f(x)}{\ln x}=1x→1limlnxf(x)=1，可得 f(x)∼lnxf(x)\sim \ln xf(x)∼lnx 当 x→1x\to1x→1
当 x→1x\to1x→1 时，lnx→0\ln x\to0lnx→0，所以 limx→1f(x)=0\lim\limits_{x\to1} f(x)=0x→1limf(x)=0
设 g(x)=f(x)lnxg(x)=\frac{f(x)}{\ln x}g(x)=lnxf(x)，则 f(x)=g(x)lnxf(x)=g(x)\ln xf(x)=g(x)lnx
应用乘积法则： f′(x)=g′(x)lnx+g(x)⋅1xf'(x)=g'(x)\ln x + g(x)\cdot\frac{1}{x}f′(x)=g′(x)lnx+g(x)⋅x1
当 x→1x\to1x→1 时，lnx→0\ln x\to0lnx→0，1x→1\frac{1}{x}\to1x1→1，g(x)→1g(x)\to1g(x)→1
因此 f′(1)=limx→1f′(x)=1f'(1)=\lim\limits_{x\to1} f'(x)=1f′(1)=x→1limf′(x)=1
答案：f′(1)=1f'(1)=1f′(1)=1
练习 7改编自2023考研数学一第3题
设函数 y=f(x)y=f(x)y=f(x) 由参数方程 {x=2t+∣t∣y=∣t∣sint\begin{cases}x=2t+|t|\\y=|t|\sin t\end{cases}{x=2t+∣t∣y=∣t∣sint 确定，求 f′(0)f'(0)f′(0)。
参考答案解题思路： 使用参数方程求导公式，涉及反函数求导的思想。
详细步骤：
当 t≥0t\geq0t≥0 时，x=3t,y=tsintx=3t, y=t\sin tx=3t,y=tsint，所以 y=x3sinx3y=\frac{x}{3}\sin\frac{x}{3}y=3xsin3x
当 t<0t<0t<0 时，x=t,y=−tsintx=t, y=-t\sin tx=t,y=−tsint，所以 y=−xsinxy=-x\sin xy=−xsinx
因此 f(x)={x3sinx3,x≥0−xsinx,x<0f(x)=\begin{cases}\frac{x}{3}\sin\frac{x}{3}, & x\geq0\\-x\sin x, & x<0\end{cases}f(x)={3xsin3x,−xsinx,x≥0x<0
计算左导数： f−′(0)=limx→0−−xsinx−0x=−limx→0−sinx=0f'_-(0)=\lim\limits_{x\to0^-}\frac{-x\sin x-0}{x}=-\lim\limits_{x\to0^-}\sin x=0f−′(0)=x→0−limx−xsinx−0=−x→0−limsinx=0
计算右导数： f+′(0)=limx→0+x3sinx3−0x=limx→0+sinx33=0f'_+(0)=\lim\limits_{x\to0^+}\frac{\frac{x}{3}\sin\frac{x}{3}-0}{x}=\lim\limits_{x\to0^+}\frac{\sin\frac{x}{3}}{3}=0f+′(0)=x→0+limx3xsin3x−0=x→0+lim3sin3x=0
由于左导数和右导数相等，所以 f′(0)=0f'(0)=0f′(0)=0
答案：f′(0)=0f'(0)=0f′(0)=0
练习 8改编自2024考研数学一第1题
已知函数 f(x)=∫0xecostdtf(x)=\int_0^x e^{\cos t}dtf(x)=∫0xecostdt，求 f′(x)f'(x)f′(x) 和 f′′(x)f''(x)f′′(x)。
参考答案解题思路： 使用积分上限函数求导公式和复合函数求导。
详细步骤：
根据积分上限函数求导公式： f′(x)=ecosxf'(x)=e^{\cos x}f′(x)=ecosx
对 f′(x)f'(x)f′(x) 再次求导，使用复合函数求导： 设 u=cosxu=\cos xu=cosx，则 f′(x)=euf'(x)=e^uf′(x)=eu
ddx(eu)=eu⋅dudx=ecosx⋅(−sinx)=−ecosxsinx\frac{d}{dx}(e^u)=e^u\cdot\frac{du}{dx}=e^{\cos x}\cdot(-\sin x)=-e^{\cos x}\sin xdxd(eu)=eu⋅dxdu=ecosx⋅(−sinx)=−ecosxsinx
答案： f′(x)=ecosxf'(x)=e^{\cos x}f′(x)=ecosx f′′(x)=−ecosxsinxf''(x)=-e^{\cos x}\sin xf′′(x)=−ecosxsinx
练习 9改编自2025考研数学一第1题
已知函数 f(x)=∫0xet2sint dtf(x) = \int_0^x e^{t^2} \sin t\,dtf(x)=∫0xet2sintdt，求 f′(x)f'(x)f′(x) 和 f′′(x)f''(x)f′′(x)。
参考答案解题思路： 使用积分上限函数求导公式和复合函数求导。
详细步骤：
根据积分上限函数求导公式： f′(x)=ex2sinxf'(x) = e^{x^2} \sin xf′(x)=ex2sinx
对 f′(x)f'(x)f′(x) 再次求导，使用乘积法则和复合函数求导： 设 u=ex2u = e^{x^2}u=ex2，v=sinxv = \sin xv=sinx
u′=ex2⋅2x=2xex2u' = e^{x^2} \cdot 2x = 2x e^{x^2}u′=ex2⋅2x=2xex2（复合函数求导） v′=cosxv' = \cos xv′=cosx
应用乘积法则： f′′(x)=u′v+uv′=2xex2⋅sinx+ex2⋅cosxf''(x) = u'v + uv' = 2x e^{x^2} \cdot \sin x + e^{x^2} \cdot \cos xf′′(x)=u′v+uv′=2xex2⋅sinx+ex2⋅cosx =2xex2sinx+ex2cosx= 2x e^{x^2} \sin x + e^{x^2} \cos x=2xex2sinx+ex2cosx
答案： f′(x)=ex2sinxf'(x) = e^{x^2} \sin xf′(x)=ex2sinx f′′(x)=2xex2sinx+ex2cosxf''(x) = 2x e^{x^2} \sin x + e^{x^2} \cos xf′′(x)=2xex2sinx+ex2cosx
练习 10改编自2022考研数学一第17题
设 y=y(x)y=y(x)y=y(x) 满足 y′+12xy=2+xy'+\frac{1}{2\sqrt{x}}y=2+\sqrt{x}y′+2x1y=2+x，y(1)=3y(1)=3y(1)=3，求 y(x)y(x)y(x) 的表达式。
参考答案解题思路： 使用一阶线性微分方程的求解方法。
详细步骤：
这是一个一阶线性微分方程：y′+12xy=2+xy'+\frac{1}{2\sqrt{x}}y=2+\sqrt{x}y′+2x1y=2+x
积分因子：μ(x)=e∫12xdx=ex\mu(x)=e^{\int\frac{1}{2\sqrt{x}}dx}=e^{\sqrt{x}}μ(x)=e∫2x1dx=ex
方程两边乘以积分因子： exy′+ex12xy=(2+x)exe^{\sqrt{x}}y'+e^{\sqrt{x}}\frac{1}{2\sqrt{x}}y=(2+\sqrt{x})e^{\sqrt{x}}exy′+ex2x1y=(2+x)ex
左边可以写成：(exy)′=(2+x)ex(e^{\sqrt{x}}y)'=(2+\sqrt{x})e^{\sqrt{x}}(exy)′=(2+x)ex
积分得：exy=∫(2+x)exdxe^{\sqrt{x}}y=\int(2+\sqrt{x})e^{\sqrt{x}}dxexy=∫(2+x)exdx
计算积分：∫(2+x)exdx=2∫exdx+∫xexdx\int(2+\sqrt{x})e^{\sqrt{x}}dx=2\int e^{\sqrt{x}}dx+\int\sqrt{x}e^{\sqrt{x}}dx∫(2+x)exdx=2∫exdx+∫xexdx
设 u=xu=\sqrt{x}u=x，则 dx=2ududx=2ududx=2udu，积分变为： 2∫eu⋅2udu+∫ueu⋅2udu=4∫ueudu+2∫u2eudu2\int e^u\cdot2udu+\int ue^u\cdot2udu=4\int ue^udu+2\int u^2e^udu2∫eu⋅2udu+∫ueu⋅2udu=4∫ueudu+2∫u2eudu
使用分部积分法求解，最终得到： y(x)=e−x(2xex+C)y(x)=e^{-\sqrt{x}}\left(2x e^{\sqrt{x}}+C\right)y(x)=e−x(2xex+C)
由 y(1)=3y(1)=3y(1)=3，得 C=eC=eC=e，所以： y(x)=e−x(2xex+e)y(x)=e^{-\sqrt{x}}\left(2x e^{\sqrt{x}}+e\right)y(x)=e−x(2xex+e)
答案：y(x)=e−x(2xex+e)y(x)=e^{-\sqrt{x}}\left(2x e^{\sqrt{x}}+e\right)y(x)=e−x(2xex+e)